Проекция силы на ось является положительной. В какую сторону направлена реакция стержня с шарнирным крепление концов? Сила и ее проекции на плоскости координат
Пусть линия действия силы F лежит в плоскости OXY (рис. 1.25).
По правилу параллелограмма разложим эту силу на составляющие силы F ОХ, F OY по координатным осям OX и OY. Силы F OX , F OY называют компонентами силы F по координатным осям OX и OY. Очевидно векторное равенство
F = F OX + F OY .
Спроецируем компоненты F OX , F OY силы F на координатные оси и получим скалярные величины F OX , F OY , которые называют проекциями силы на оси OX и OY .
Компоненты силы и её проекции на координатные оси связаны равенствами: F OX = i ×F OX ; F OY = j ×F OY .
Проекция силы на ось – скалярная величина, равная взятой со знаком плюс или минус длине отрезка, заключённого между проекциями на ось начала и конца силы.
Из определения следует, что проекции данной силы на любые параллельные оси равны друг другу: F OX = F O 1 X 1 , F OY = F O 1 Y 1 , где F O 1 X 1 , F O 1 Y 1 – проекции силы F на координатные оси системы отсчёта O 1 X 1 Y 1 .
Пусть в пространстве в системе отсчёта OXYZ задана сила F
, (рис. 1.26).
Используя правило параллелепипеда, разложим силу F на компоненты F OX , F OY , F OZ . По правилу сложения векторов справедливо равенство
F = F OX + F OY + F OZ .
Компоненты F OX , F OY , F OZ силы F связаны с их проекциями F OX , F OY , F OZ на координатные оси соотношениями: F OX = i ×F OX ; F OY = j ×F OY ; F OZ = k ×F OZ . Следовательно, справедливо равенство
F = i ·F OX + j ·F OY + k ·F OZ .
Последнее равенство представляет собой формулу разложения силы на составляющие силы по координатным осям .
Проекция силы на координатную ось равна произведению модуля силы на косинус угла, составленного направлениями силы и оси.
F OX = F×cos(F , i ); F OY = F×cos(F , j ); F OZ = F×cos(F , k ).
Модуль силы через её проекции определяют по формуле
Направляющие косинусы , используемые для определения направления силы, находят по формулам:
cos(F , i ) = F OX /F; cos(F , j ) = F OY /F; cos(F , k ) = F OZ /F.
Если рассматривается сила, лежащая в плоскости OXY, то применяются формулы:
F = F OX + F OY ;
;
cos(F , i ) = F OX /F; cos(F , j ) = F OY /F.
При определении проекции силы на ось возможны следующие частные случаи (рис. 1.27).
Анализ частных случаев определения проекции силы на ось позволяет сделать следующие выводы: 1) если сила и ось направлены в одну полуплоскость, то проекция силы на ось положительна; 2) если сила и ось направлены в разные полуплоскости, то проекция силы на ось отрицательна; 3) если сила и ось взаимно перпендикулярны, то проекция силы на ось равна нулю; 4) если сила и ось параллельны, то сила проецируется на ось в натуральную величину с соответствующим знаком.
В инженерной практике принято использовать заданный угол и выражать через него проекции силы на оси (рис. 1.28).
Проекцией силы на плоскость OXY называется вектор F OX Y , заключенный между проекциями начала и конца силы F на эту плоскость (рис. 1.29).
Таким образом, в отличие от проекции силы на ось, проекция силы на плоскость есть величина векторная , так как она характеризуется не только модулем, но и направлением по плоскости OXY. По модулю F О X Y = F·cos(g), где g – угол между направлением силы F и её проекцией F OX Y ,
В некоторых случаях для нахождения проекции силы на ось бывает удобнее найти сначала её проекцию на плоскость, в которой эта ось лежит, а затем найденную проекцию силы на плоскость спроецировать на данную ось. Тогда:
F OX = F OXY ·sin(α) = F·cos(g)·sin(α);
F OY = F OXY ·cos(α) = F·cos(g)·cos(α);
Аналитический метод решения задач статики основывается на понятии о проекции силы на ось. Проекция силы (как и любого другого вектора) на ось есть алгебраическая величина, равная произведению модуля силы на косинус угла между силой и положительным направлением оси.
Если этот угол острый, - проекция положительна, если тупой, - отрицательна, а если сила перпендикулярна оси, - ее проекция на ось равна нулю. Так, для сил, изображенных на рис. 18,
Проекцией силы F на плоскость называется вектор заключенный между проекциями начала и конца силы F на эту плоскость (рис. 19). Таким образом, в отличие от проекции силы на ось, проекция силы на плоскость есть величина векторная, так как она характеризуется не только своими числовыми значениями, но и направлением в плоскости По модулю где - угол между направлением силы F и ее проекции
В некоторых случаях для нахождения проекции силы на ось удобнее найти сначала ее проекцию на плоскость, в которой эта ось лежит, а затем найденную проекцию на плоскость спроектировать на данную ось. Например, в случае, изображенном на рис. 19, найдем таким способом, что
Аналитический способ задания сил. Для аналитического задания силы необходимо выбрать систему координатных осей Oxyz, по отношению к которой будет определяться направление силы в пространстве.
В механике мы будем пользоваться правой системой координат, т. е. такой системой, в которой кратчайшее совмещение оси с осью происходит, если смотреть с положительного конца оси против хода часовой стрелки (рис. 20).
Вектор, изображающий силу F, можно построить, если известны модуль этой силы и углы , которые сила образует с координатными осями. Таким образом, величины и задают силу F. Точка А приложения силы должна быть задана отдельно ее координатами .
Для решения задач механики удобнее задавать силу ее проекциями на координатные оси. Зная эти проекции, можно определить модуль силы и углы, которые она образует с координатными осями, по формулам:
Если все рассматриваемые силы расположены в одной плоскости, то каждую из сил можно задать ее проекциями на две оси Тогда формулы, определяющие силу по ее проекциям, примут вид:
Аналитический способ сложения сил. Переход от зависимостей между векторами к зависимостям между их проекциями осуществляется с помощью следующей теоремы геометрии: проекция вектора суммы на какую-нибудь ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось. Согласно этой теореме, если R есть сумма сил то
Зная по формулам (6) находим:
Формулы (8), (9) и позволяют решить задачу о сложении сил аналитически.
Для сил, расположенных в одной плоскости, соответствующие формулы принимают вид:
Если силы заданы их модулями и углами с осями, то для применения аналитического метода сложения надо предварительно вычислить проекции этих сил на координатные оси.
Проекция силы на ось определяется отрезком оси, отсекаемым
перпендикулярами, опущенными на ось из начала и конца вектора (рис. 3.1).
Величина проекции силы на ось равна произведению модуля силы на косинус угла между вектором силы и положительным направлением оси. Таким образом, проекция имеет знак: положительный при одинаковом направлении вектора силы и оси и отрицательный при направлении в сторону отрицательной полуоси (рис. 3.2).
Проекция силы на две взаимно перпендикулярные оси (рис. 3.3).
Конец работы -
Эта тема принадлежит разделу:
Теоретическая механика
Теоретическая механика.. лекция.. тема основные понятия и аксиомы статики..
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Все темы данного раздела:
Задачи теоретической механики
Теоретическая механика - наука о механическом движении материальных твердых тел и их взаимодействии. Механическое движение понимается как перемещение тела в пространстве и во времени по от
Третья аксиома
Не нарушая механического состояния тела, можно добавить или убрать уравновешенную систему сил (принцип отбрасывания системы сил, эквивалентной нулю) (рис. 1.3).
Р,=Р2 Р,=Р.
Следствие из второй и третьей аксиом
Силу, действующую на твердое тело, можно перемещать вдоль линии ее действия (рис. 1.6).
Связи и реакции связей
Все законы и теоремы статики справедливы для свободного твердого тела.
Все тела делятся на свободные и связанные.
Свободные тела - тела, перемещение которых не ограничено.
Жесткий стержень
На схемах стержни изображают толсто сплошной линией (рис. 1.9).
Стержень може
Неподвижный шарнир
Точка крепления перемещаться не может. Стержень может свободно поворачиваться вокруг оси шарнира. Реакция такой опоры проходит через ось шарнира, но
Плоская система сходящихся сил
Система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке, называется сходящейся (рис. 2.1).
Равнодействующая сходящихся сил
Равнодействующую двух пересекающихся сил можно определить с помощью параллелограмма или треугольника сил (4-я аксиома) (вис. 2.2).
Условие равновесия плоской системы сходящихся сил
При равновесии системы сил равнодействующая должна быть равна нулю, следовательно, при геометрическом построении конец последнего вектора должен совпасть с началом первого.
Если
Решение задач на равновесие геометрическим способом
Геометрическим способом удобно пользоваться, если в системе три силы. При решении задач на равновесие тело считать абсолютно твердым (отвердевшим).
Порядок решения задач:
Решение
1. Усилия, возникающие в стержнях крепления, по величине равны силам, с которыми стержни поддерживают груз (5-я аксиома статики) (рис. 2.5а).
Определяем возможные направления реакций связе
Сил аналитическим способом
Величина равнодействующей равна векторной (геометрической) сумме векторов системы сил. Определяем равнодействующую геометрическим способом. Выберем систему координат, определим проекции всех зада
Сходящихся сил в аналитической форме
Исходя из того, что равнодействующая равна нулю, получим:
Усл
Пара сил, момент пары сил
Парой сил называется система двух сил, равных по модулю, параллельных и направленных в разные стороны.
Рассмотрим систему сил (Р; Б"), образующих пару.
Момент силы относительно точки
Сила, не проходящая через точку крепления тела, вызывает вращение тела относительно точки, поэтому действие такой силы на тело оценивается моментом.
Момент силы отн
Теорема Пуансо о параллельном переносе сил
Силу можно перенести параллельно линии ее действия, при этом нужно добавить пару сил с моментом, равным произведению модуля силы на расстояние, на которое перенесена сила.
Расположенных сил
Линии действия произвольной системы сил не пересекаются в одной точке, поэтому для оценки состояния тела такую систему следует упростить. Для этого все силы системы переносят в одну произвольно вы
Влияние точки приведения
Точка приведения выбрана произвольно. При изменении положения точки приведения величина главного вектора не изменится.
Величина главного момента при переносе точки приведения изменится,
Плоской системы сил
1. При равновесии главный вектор системы равен нулю.
Аналитическое определение главного вектора приводит к выводу:
Виды нагрузок
По способу приложения нагрузки делятся на сосредоточенные и распределенные. Если реально передача нагрузки происходит на пренебрежимо малой площадке (в точке), нагрузку называют сосредоточенной
Момент силы относительно оси
Момент силы относительно оси равен моменту проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью (рис. 7.1 а).
MOO
Вектор в пространстве
В пространстве вектор силы проецируется на три взаимно перпендикулярные оси координат. Проекции вектора образуют ребра прямоугольного параллелепипеда, вектор силы совпадает с диагональю (рис. 7.2
Пространственная сходящаяся система сил
Пространственная сходящаяся система сил - система сил, не лежащих в одной плоскости, линии действия которых пересекаются в одной точке.
Равнодействующую пространственной системы си
Приведение произвольной пространственной системы сил к центру О
Дана пространственная система сил (рис. 7.5а). Приведем ее к центру О.
Силы необходимо параллельно перемещать, при этом образуется система пар сил. Момент каждой из этих пар равен
Центр тяжести однородных плоских тел
(плоских фигур)
Очень часто приходится определять центр тяжести различных плоских тел и геометрических плоских фигур сложной формы. Для плоских тел можно записать: V =
Определение координат центра тяжести плоских фигур
Примечание. Центр тяжести симметричной фигуры находится на оси симметрии.
Центр тяжести стержня находится на середине высоты. Положения центров тяжести простых геометрических фигур могут
Кинематика точки
Иметь представление о пространстве, времени, траектории, пути, скорости и ускорении.Знать способы задания движения точки (естественный и координатный).
Знать обозначения, едини
Пройденный путь
Путь измеряется вдоль траектории в направлении движения. Обозначение - S,
единицы измерения - метры.
Уравнение движения точки:
Уравнение, определяющ
Скорость движения
Векторная величина, характеризующая в данный момент быстроту и направление движения по траектории, называется скоростью.
Скорость - вектор, в любой момент направленный по к
Ускорение точки
Векторная величина, характеризующая быстроту изменения скорости по величине и направлению, называется ускорением точки.
Скорость точки при перемещении из точки М1
Равномерное движение
Равномерное движение - это движение с постоянной скоростью:
v = const.
Для прямолинейного равномерного движения (рис. 10.1 а)
Равнопеременное движение
Равнопеременное движение - это движение с постоянным касательным ускорением:
at = const.
Для прямолинейного равнопеременного движения
Поступательное движение
Поступательным называют такое движение твердого тела, при котором всякая прямая линия на теле при движении остается параллельной своему начальному положению (рис. 11.1, 11.2).
При
Вращательное движение
При вращательном движении все точки тела описывают окружности вокруг общей неподвижной оси.
Неподвижная ось, вокруг которой вращаются все точки тела, называется осью вращения.
Частные случаи вращательного движения
Равномерное вращение (угловая скорость постоянна):
ω =const
Уравнение (закон) равномерного вращения в данном случае имеет вид:
Скорости и ускорения точек вращающегося тела
Тело вращается вокруг точки О. Определим параметры движения точки A , расположенной на расстоянии RA от оси вращения (рис. 11.6, 11.7).
Путь
Решение
1. Участок 1 - неравномерное ускоренное движение, ω = φ’ ; ε = ω’
2. Участок 2 - скорость постоянна - движение равномерное,
. ω = const
3.
Основные определения
Сложным движением считают движение, которое можно разложить на несколько простых. Простыми движениями считают поступательное и вращательное.
Для рассмотрения сложного движения точ
Плоскопараллельное движение твердого тела
Плоскопараллельным, или плоским, называется такое движение твердого тела, при котором все точки тела перемещаются параллельно некоторой неподвижной в рассматриваемой системе отсчета
Поступательное и вращательное
Плоскопараллельное движение раскладывают на два движения: поступательное вместе с некоторым полюсом и вращательное относительно этого полюса.
Разложение используют для опред
Центра скоростей
Скорость любой точки тела можно определять с помощью мгновенного центра скоростей. При этом сложное движение представляют в виде цепи вращений вокруг разных центров.
Задача
Аксиомы динамики
Законы динамики обобщают результаты многочисленных опытов и наблюдений. Законы динамики, которые принято рассматривать как аксиомы, были сформулированы Ньютоном, но первый и четвертый законы были и
Понятие о трении. Виды трения
Трение - сопротивление, возникающее при движении одного шероховатого тела по поверхности другого. При скольжении тел возникает трение скольжения, при качении - трение качения. Природа сопро
Трение качения
Сопротивление при качении связано с взаимной деформацией грунта и колеса и значительно меньше трения скольжения.
Обычно считают грунт мягче колеса, тогда в основном деформируется грунт, и
Свободная и несвободная точки
Материальная точка, движение которой в пространстве не ограничено какими-нибудь связями, называется свободной. Задачи решаются с помощью основного закона динамики.
Материальные то
Сила инерции
Инертность - способность сохранять свое состояние неизменным, это внутреннее свойство всех материальных тел.
Сила инерции - сила, возникающая при разгоне или торможении тел
Решение
Активные силы: движущая сила, сила трения, сила тяжести. Реакция в опоре R. Прикладываем силу инерции в обратную от ускорения сторону. По принципу Даламбера, система сил, действующих на платформу
Работа равнодействующей силы
Под действием системы сил точка массой т перемещается из положения М1 в положение M 2 (рис. 15.7).
В случае движения под действием системы сил пользуютс
Мощность
Для характеристики работоспособности и быстроты совершения работы введено понятие мощности.
Мощность - работа, выполненная в единицу времени:
Мощность при вращении
Рис. 16.2
Тело движется по дуге радиуса из точки М1 в точку М2
М1М2 = φr
Работа силы
Коэффициент полезного действия
Каждая машина и механизм, совершая работу, тратит часть энергии на преодоление вредных сопротивлений.
Таким образом, машина (механизм) кроме полезной работы совершает еще и дополнитель
Теорема об изменении количества движения
Количеством движения материальной точки называется векторная величина, равная произведению массы точки на ее скорость mv.
Вектор количества движения совпадает по
Теорема об изменении кинетической энергии
Энергией называется способность тела совершать механическую работу.
Существуют две формы механической энергии: потенциальная энергия, или энергия положения, и кинетическая энергия,
Основы динамики системы материальных точек
Совокупность материальных точек, связанных между собой силами взаимодействия, называется механической системой.
Любое материальное тело в механике рассматривается как механическая
Основное уравнение динамики вращающегося тела
Пусть твердое тело под действием внешних сил вращается вокруг оси Оz с угловой скоростью
Напряжения
Метод сечений позволяет определить величину внутреннего силового фактора в сечении, но не дает возможности установить закон распределения внутренних сил по сечению. Для оценки прочности н
Внутренние силовые факторы, напряжения. Построение эпюр
Иметь представление о продольных силах, о нормальных напряжениях в поперечных сечениях.
Знать правила построения эпюр продольных сил и нормальных напряжений, закон распределения
Продольных сил
Рассмотрим брус, нагруженный внешними силами вдоль оси. Брус закреплен в стене (закрепление «заделка») (рис. 20.2а).
Делим брус на участки нагружения.
Участком нагружения с
Геометрические характеристики плоских сечений
Иметь представление о физическом смысле и порядке определения осевых, центробежных и полярных моментов инерции, о главных центральных осях и главных центральных моментах инерции.
Статический момент площади сечения
Рассмотрим произвольное сечение (рис. 25.1).
Если разбить сечение на бесконечно малые площадки dA и умножить каждую площадку на расстояние до оси координат и проинтегрировать получе
Центробежный момент инерции
Центробежным моментом инерции сечения называется взятая ковсей площади сумма произведений элементарных площадок на обе координаты:
Осевые моменты инерции
Осевым моментом инерции сечения относительно некоторой реи, лежащей в этой же плоскости, называется взятая по всей площади сумма произведений элементарных площадок на квадрат их расстояния
Полярный момент инерции сечения
Полярным моментом инерции сечения относительно некоторой точки (полюса) называется взятая по всей площади сумма произведений элементарных площадок на квадрат их расстояния до этой точки:
Моменты инерции простейших сечений
Осевые моменты инерции прямоугольника (рис. 25.2)
Представим прямо
Полярный момент инерции круга
Для круга вначале вычисляют полярный момент инерции, затем - осевые. Представим круг в виде совокупности бесконечно тонких колец (рис. 25.3).
Деформации при кручении
Кручение круглого бруса происходит при нагружении его парами сил с моментами в плоскостях, перпендикулярных продольной оси. При этом образующие бруса искривляются и разворачиваются на угол γ,
Гипотезы при кручении
1. Выполняется гипотеза плоских сечений: поперечное сечение бруса, плоское и перпен-
дикулярное продольной оси, после деформацииостается плоским и перпендикулярным
продольной оси.
Внутренние силовые факторы при кручении
Кручением называется нагружение, при котором в поперечном сечении бруса возникает только один внутренний силовой фактор - крутящий момент.
Внешними нагрузками также являются две про
Эпюры крутящих моментов
Крутящие моменты могут меняться вдоль оси бруса. После определения величин моментов по сечениям строим график-эпюру крутящих моментов вдоль оси бруса.
Напряжения при кручении
Проводим на поверхности бруса сетку из продольных и поперечных линий и рассмотрим рисунок, образовавшийся на поверхности после
Рис. 27.1а
деформации (рис. 27.1а). Поп
Максимальные напряжения при кручении
Из формулы для определения напряжений и эпюры распределения касательных напряжений при кручении видно, что максимальные напряжения возникают на поверхности.
Определим максимальное напряж
Виды расчетов на прочность
Существует два вида расчета на прочность
1. Проектировочный расчет - определяется диаметр бруса (вала) в опасном сечении:
Расчет на жесткость
При расчете на жесткость определяется деформация и сравнивается с допускаемой. Рассмотрим деформацию круглого бруса над действием внешней пары сил с моментом т (рис. 27.4).
Основные определения
Изгибом называется такой вид нагружения, при котором в поперечном сечении бруса возникает внутренний силовой фактор -изгибающий момент. Брус, работающий на
Внутренние силовые факторы при изгибе
Пример 1.Рассмотрим балку, на которую действует пара сил с моментом т и внешняя сила F (рис. 29.3а). Для определения внутренних силовых факторов пользуемся методом с
Изгибающих моментов
Поперечная сила в сечении считается положительной, если она стремится развернуть се
Дифференциальные зависимости при прямом поперечном изгибе
Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов существенно упрощается при использовании дифференциальных зависимостей между изгибающим моментом, поперечной силой и интенсивностью равномерн
Методом сечения Полученное выражение можно обобщить
Поперечная сила в рассматриваемом сечении равна алгебраической сумме всех сил, действующих на балку до рассматриваемого сечения:
Q = ΣFi
Поскольку речь идет
Напряжения
Рассмотрим изгиб балки, защемленной справа и нагруженной сосредоточенной силой F (рис. 33.1).
Напряженное состояние в точке
Напряженное состояние в точке характеризуется нормальными и касательными напряжениями, возникающими на всех площадках (сечениях), проходящих через данную точку. Обычно достаточно определить напр
Понятие о сложном деформированном состоянии
Совокупность деформаций, возникающих по различным направлениям и в различных плоскостях, проходящих через точку, определяют деформированное состояние в этой точке.
Сложное деформи
Расчет круглого бруса на изгиб с кручением
В случае расчета круглого бруса при действии изгиба и кручения (рис. 34.3) необходимо учитывать нормальные и касательные напряжения, т. к. максимальные значения напряжений в обоих случаях возника
Понятие об устойчивом и неустойчивом равновесии
Относительно короткие и массивные стержни рассчитывают на сжатие, т.к. они выходят из строя в результате разрушения или остаточных деформаций. Длинные стержни небольшого поперечного сечения под дей
Расчет на устойчивость
Расчет на устойчивость заключается в определении допускаемой сжимающей силы и в сравнении с ней силы действующей:
Расчет по формуле Эйлера
Задачу определения критической силы математически решил
Л. Эйлер в 1744 г.
Для шарнирно закрепленного с обеих сторон стержня (рис. 36.2) формула Эйлера имеет вид
Критические напряжения
Критическое напряжение - напряжение сжатия, соответствующее критической силе.
Напряжение от сжимающей силы определяется по формуле
Пределы применимости формулы Эйлера
Формула Эйлера выполняется только в пределах упругих деформаций.
Таким образом, критическое напряжение должно быть меньше
предела упругости материала.
Пред
Решение задач на равновесие сходящихся сил с помощью построения замкнутых силовых многоугольников сопряжено с громоздкими построениями. Универсальным методом решения таких задач является переход к определению проекций заданных сил на координатные оси и оперирование с этими проекциями. Осью называют прямую линию, которой приписано определенное направление.
Проекция вектора на ось является скалярной величиной, которая определяется отрезком оси, отсекаемым перпендикулярами, опущенными на нее из начала и конца вектора.
Проекция вектора считается положительной, если направление от начала проекции к ее концу совпадает с положительным направлением оси. Проекция вектора считается отрицательной, если направление от начала проекции к ее концу противоположно положительному направлению оси.
Таким образом, проекция силы на ось координат равна произведению модуля силы на косинус угла между вектором силы и положительным направлением оси.
Рассмотрим ряд случаев проецирования сил на ось:
Вектор силы F (рис. 15) составляет с положительным направлением оси х острый угол .
Чтобы найти проекцию, из начала и конца вектора силы опускаем перпендикуляры на ось oх ; получаем
1. F x = F cos α
Проекция вектора в данном случае положительна
Сила F (рис. 16) составляет с положительным направлением оси х тупой угол α.
Тогда F x = F cos α, но так как α = 180 0 - φ,
F x = F cos α = F cos180 0 - φ =- F cos φ.
Проекция силы F на ось oх в данном случае отрицательна.
Сила F (рис. 17) перпендикулярна оси oх .
Проекция силы F на ось х равна нулю
F x = F cos 90° = 0.
Силу, расположенную на плоскости хоу (рис. 18), можно спроектировать на две координатные оси ох и оу .
Силу F можно разложить на составляющие: F x и F y . Модуль вектора F x равен проекции вектора F на ось ox , а модуль вектора F y равен проекции вектора F на ось oy .
Из ΔОАВ : F x =F cos α, F x =F sin α.
Из ΔОАС : F x =F cos φ, F x =F sin φ.
Модуль силы можно найти по теореме Пифагора:
Проекция векторной суммы или равнодействующей на какую-либо ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось.
Рассмотрим сходящиеся силы F 1 , F 2 , F 3 , и F 4 , (рис. 19, а). Геометрическая сумма, или равнодействующая, этих сил F определяется замыкающей стороной силового многоугольника
Опустим из вершин силового многоугольника на ось x перпендикуляры.
Рассматривая полученные проекции сил непосредственно из выполненного построения, имеем
F = F 1x +F 2x +F 3x + F 4x
где n - число слагаемых векторов. Их проекции входят вышеуказанное уравнение с соответствующим знаком.
В плоскости геометрическую сумму сил можно спроецировать на две координатные оси, а в пространстве – соответственно на три.
а аналитическим условием равновесия, которое основано на методе проекций.
Проекцией силы на ось называется отрезок оси, заключенный между двумя перпендикулярами, опущенными на ось из начала и конца вектора силы.
Пусть даны координатные оси х, у, сила Р, приложенная в точке А и расположенная в плоскости координатных осей (рис. 2.3).
Проекциями силы Р на оси будут отрезки аЬ и а"Ь". Обозначим этн проекции соответственно Р„и Р„. Тогда
Р„= Р со я а; Р„= Р я п а.
Проекция силы на ось есть величина алгебраическая, которая может быть положительной или отрицательной, что устанавливается по направлению проекции. За направление проекции примем направление от проекции начала к проекции конца вектора силы.
Установим следующее правило знаков:
если направление проекции силы на ось совпадает с положительным направление.м оси, то эта проекция считается положительной, и наоборот.
Если вектор силы параллелен оси, то он проецируется на эту ось в натуральную величину (рис. 2.3, сила Г).
Если вектор силы перпендикулярен оси, то его проекция на эту ось равна нулю (рис. 2.3, сила Я).
Зная две проекции Р„и Р„, из треугольника АВС определяем модуль и направление вектора силы Р по следующим формулам:
модуль силы
направляющий тангенс угла между вектором силы
Р и осью х
Отметим, что силу Р можно представить как равнодействующую двух составляющих сил Р„и Р., параллельных осям координат (рис. 2.3). Составляющие Р„и Р„и проекции Р„ и Рх принципиально отличны друг от друга, так как составляющая есть величина векторная, а проекция величина алгебраическая; но проекции силы на две взаимно перпендикулярные оси х и у и модули составляющих той же силы соответственно численно равны, когда сила разлагается по двум взаимно перпендикулярным направлениям, параллельным осям х и у.
$2.4. Аналитический способ определения
равнодействующей плоской системы сходящихся сил
Пусть дана плоская система п сходящихся сил
Равнодействующая этой системы
В плоскости действия данной системы выберем ось координат и спроецируем данные силы и их равнодействующую на эту ось.
Из математики известно свойство проекции векторной суммы, на основании которого можно утверждать, что проекция равнодействующей на ось равна алгебраической сумме проекций составляющих сил на ту же ось, т. е.
Правую часть этого равенства записываем упрощенно,
а именно:
Для того чтобы определить равнодействующую любой плоской системы сходящихся сил, спроецируем их на оси координат х и у, алгебраически сложим проекции всех сил и найдем, таким образом, проекции равнодействующей.